geometrik seri

• matematikte, a ve r iki sabit sayi olmak uzere,
  
  a + ar + a(r^2) + a(r^3) + a(r^4) + ...
  
  diye giden sonsuz serilere verilen isim. burada r'nin mutlak degeri 1'den kucukse, seri a/(1-r) degerine yakinsar (yani sayilari ekledikce toplam gitgide bu degere yaklasir), yok r'nin mutlak degeri 1'den buyuk ya da 1'e esitse, seri iraksar (yani sayilari ekledikce toplam belli bir degere yakinsamaz, ya sonsuza gider ya da ordan oraya atlar durur).
  
  ornek: a=1, r=1/2. bu durumda seri 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... diye gidecek ve 2'ye yakinsayacaktir.
  ornek: a=1, r=1. bu durumda seri 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... diye gidecek ve sonsuza dogru iraksayacaktir.
  ornek: a=1, r=-1. bu durumda, seri 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... diye gidecek ve iraksayacaktir.
• a reel sayi ve n dogal sayi olmak uzere
  
  s= a^0 + a^1 + a^2 + ... + a^(n-1) + a^n seklinde geometrik seri tanimlayalim.
  
  esitligin her iki tarafini a ile carpalim.
  
  a.s = a.a^0 + a.a^1 + a.a^2 + ... + a.a^(n-1) + a.a^n
  a.s = a^1 + a^2 + a^3 + ... + a^n + a^(n+1)
  
  son buldugumuz esitlikten ilk esitligi cikaralim.
  
  a.s = a^1 + a^2 + a^3 + ... + a^n + a^(n+1)
  - (s= a^0 + a^1 + a^2 + ... + a^(n-1) + a^n)
  -----------------------------------------------------------------------------------
  
  as-s= a^(n+1)-a^0
  
  as-s= a^(n+1)-1
  
  s=((a^(n+1))-1)/(a-1)
  
  ornegin,
  
  4^0 + 4^1 + 4^2 +... + 4^10=?
  
  formulde
  
  a= 4
  n=10 yazarsak
  
  s=((4^(10+1))-1)/(4-1)
  
  s= ((4^11)-1)/3
  
  baska formulle yaparsak
  
  s = a (1) * (1-r^(n+1))/ (1-r)
  
  s= 1 * (1-4^(10+1)) / (1-4)= ((4^11)-1)/3 olur.
  
  eger n sonsuza gidiyorsa ve a'nin mutlak degeri 1'den kucuk olursa lim (a^(n+1))=0 olacagi icin formul s=1/(1-a) olur.
  
  ornegin,
  
  (1/2)^0 + (1/2)^2 + (1/2)^3+ ...
  
  a=1/2
  
  s=1/((1-(1/2))=2 olur.
  
  formulle yazarsak
  
  s = a (1) * 1/ (1-r)
  
  = 1 * 1 / (1-1/2)= 2 olur.
  
  baska bir yaygin ornekte ise,
  
  bir top 50 m yukseklikten dusuyor. her seferinde bir onceki yuksekligin 2/3 u kadar zipliyor. topun duruncaya kadar aldigi dusey yollar toplami kac metredir?
  
  ilk seferinde 50 m duser.
  
  sonrasinda cikarken 50*2/3 ve inerken de 50*2/3
  
  daha sonrasinda da cikarken 50*2/3*2/3 ve inerken de 50*2/3*2/3 m yol alir.
  
  ve durum boyle gider.
  
  50 + 2*50*(2/3) + 2*50*(2/3)^2 + ...
  
  2*50* (2/3) ortak parantezine alalim.
  
  50 + 2*50* (2/3) ( 1+ (2/3) + (2/3)^2 + ...)
  
  50 + 2*50*(2/3)*1* (1/(1-(2/3))= 250 m olur.
  
  ikinci yolla soruyu soyle cozebiliriz:
  
  50 * (2+3) / (3-2) =50*50=250 m buluruz.
  
  sonsuz tane ic ice gecmis cevre ve alan sorularinda benzerlik orani bulunur. dikkat edilecek nokta ise, alanlarda benzerlik oranin karesi alinarak islem yapilir.
  
  devirli ondalik sayilarla ilgili ornek icin (bkz: #26504435)
  
  geormetrik serinin kullanildigi en yaygin uygulama alanlardan biri finanstir.
  
  (bkz: annuity)
  (bkz: anuite)
  (bkz: perpetuity)
  (bkz: mortgage odemesi hesaplamalari)
  (bkz: şimdiki değer)
  (bkz: present value)
  
  ayrica
  (bkz: aritmetik seri)
  (bkz: geometrik dizi)
• gometrik seriler oyun teoresi'nde de discount factor hesaplamaları için kullanılır.
  
  şöyle ki : her hangi bir tekrarlanan oyunda (bkz: repated games), her bir elde discount factor oranı sabit ise (değişkenlik de gösterebilir) geometrik seri vardır.
  
  örneğin :
  - birinci oyuncu herhangi bir strateji seçimi yapmış olsun ve kazancı 10 birim olsun. biz bu kazanca u (bkz: utility) diyelim.
  - bu oyun her tekrarlandığında 0.8 oranında sabit bir discount factor belirleyelim ve bu da delta olsun.
  
  bu durumda
  a) bu sonlu bir oyun ise (bkz: finite game) örneğin oyun 5 kez (n) oynanacaksa ; bu oyuncunun toplam kazancı delta =
  u * (1-sigma^n) / (1 -sigma) = 10. 0.67/0.2 = 33,61 olur.
  
  b) bu oyunun sonsuz olduğunu kabul edersek (bkz: infinite game) formülümüz delta= u / (1 -sigma) = 10/0.2 = 50 olur.